Tugas 4 Ilmu Alamiah Dasar- Himpunan dan bilangan

A.Himpunan dan bilangan

 1. Jelaskan pengertian himpunan dan anggota himpunan!

Jawab : Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa objek pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat dibadakan atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak termuat pada himpunan.

Anggota himpunan :

Himpunan A adalah himpunan 5 bilangan asli yang pertama yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5. Bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5 disebut anggota dari himpunan A.

Anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan ∈.

Contoh: 

1 ∈ A dibaca satu merupakan anggota dari himpunan A.
2 ∈ A dibaca dua merupakan anggota dari himpunan A.

Untuk menyatakan sesuatu bukan anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan ∉.

Contoh: 

7 ∉ A dibaca tujuh bukan anggota dari himpunan A.
9 ∉ A dibaca sembilan bukan anggota dari himpunan A.

Anggota suatu himpunan dinotasikan dengan ∈.
Bukan anggota suatu himpunan dinotasikan dengan ∉.

Himpunan A adalah himpunan lima bilangan asli yang pertama yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya anggota himpunan A adalah 5. Notasi banyaknya anggota himpunan A dapat ditulis n(A) = 5 dibaca banyaknya anggota himpunan A adalah 5.

2. Sebutkan macam-macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya!

            Jawab: 1. Himpunan bilangan asl

     A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }

2. Himpunan bilangan cacah

   C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }

3. Himpunan bilangan prima

    P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }

4. Himpunan bilangan genap

    G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }

5. Himpunan bilangan ganjil

    G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }

6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)

    T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }

7. Himpunan tak hingga

   A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A = ∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak    terhingga)

8. Himpunan berhingga

B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)
9. Himpunan kosong
   K = { himpunan bilangan prima antara 7 dan 9 }, K = { } (jumlah anggota    himpunan K adalah tidak ada atau kosong)

10. Himpunan bagian

A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
   Semua anggota himpuna A adalah merupakan anggota himpunan B.  Sehingga dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B ﬤ A

11. Himpunan semesta

      Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 }, maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }

3. Jelaskan operasi antara himpunan berserta contohnya!

            Jawab:  Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.

Irisan (intersection)

Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

irisan (intersection)

Contoh irisan :

• Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
• Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.

Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.

Gabungan (union)

Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Union

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh union :

• Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}
• A ∪ ∅ = A

Komplemen (complement) 

Komplemen dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal (semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A dinotasikan oleh :

Ā = { x | x ∈ U dan x ∉ A }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Komplemen

Contoh komplemen :

• Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
• jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2, 4, 5, 6, 8}
• jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A= { 1, 3, 5, 7, 9 }

Contoh komplemen :

A = himpunan mahasiswa STT Telkom

B = himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama

C = himpunan mahasiswa angkatan 2004

D = himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit

E = himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus

a. Pernyataan

“Semua mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

(A ∩ C) ∩ E

b. Pernyataan

“Semua mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

A ∩ B ∩ D

c. Pernyataan

“semua mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :

C ∩ (B ∪ E)

Selisih (difference)

Selisih antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B } = A ∩ B

Selisih

Contoh selisih :

Jika A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 } dan B – A = ∅

Beda Setangkup (Symmetric Difference)

Beda setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘⊕‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B dinotasikan oleh :

A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
             = (A – B) ∪ (B – A)

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh beda setangkup :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }

Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut :

• A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif)
• (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)

Perkalian Kartesian (cartesian product)

Perkalian kartesian antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B dinotasikan oleh :

A × B = {(a, b) | a ∈ A dan b ∈ B }

Contoh perkalian kartesian :

Misalkan C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b) }
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua titik di bidang datar

Misalkan ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A dan B merupakan himpunan berhingga,

maka:
|A × B| = |A| . |B|

Pasangan terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu

A × B ≠ B × A

dimana A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅, maka

A × B = B × A = ∅

Hukum-hukum yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :

1. Hukum identitas:

• A ∪ ∅ = A
• A ∩ U = A

2. Hukum null/dominasi:

• A ∩ ∅ = ∅
• A ∪ U = U

3. Hukum komplemen:

• A ∪ A = U
• A ∩ A = ∅

4. Hukum idempoten:

• A ∪ A = A
• A ∩ A = A

5.Hukuminvolusi:
  
6. Hukum penyerapan (absorpsi):

• A ∪ (A ∩ B) = A
• A ∩ (A ∪ B) = A
  7. Hukum komutatif:

• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ B = B ∩ A
  8. Hukum asosiatif:

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
  9. Hukum distributif:

• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  10. Hukum De Morgan:

   
11. Hukum komplemen:

     

4. Jelaskan mengenai himpunan bilangan dan sebutkan sifat-sifat bilangan!

   Himpunan bilangan adalah kumpulan bilangan yang terdefinisi dengan jelas. Adapun jenis-   jenis bilangan yaitu bilangan asli (N), bilangan cacah (C), bilangan bulat (B), bilangan rasional (Q), bilangan irrasional (I). Bilangan-bilangan tersebut apabila dikumpulkan dalam tiap jenisnya akan membentuk suatu himpunan.

Sifat-sifat bilangan:

a. Sifat Komutatif

Dalam penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat dibolak – balik :

5 + 2 = 7 dan 2 + 5 = 7

5 x 2 = 10 dan 2 x 5 = 10

Ini adalah merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan :

a + b = b + a

a x b = b x a

sifat ini tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.

Contoh :

5 – 2 = 3 sedangkan 2 – 5 = -3

4 : 2 = 2 sedangkan 2 : 4 = 0,5

b. Sifat Asosiatif

Dalam operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian bilangan pertama.

Contoh :

5 + ( 3 + 6 ) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14

5(3x6) = 90 dan (5x3)6 = 90

Dalam bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

a(b xc ) = (axb)c

sedangkan pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.

c. Sifat Distributif

Perkalian dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.

Contoh :

3( 4 + 5 ) = 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27

Dalam bentuk variable dapat dinyatakan dengan :

a( b + c ) = a(b) + a(c)

pada operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun operasi pengurangan.

5. Jelaskan perbedaan bilangan bulat dengan bilangan riil!

   Jawab:

   Bilangan Bulat adalah himpunan bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan        bilangan bulat positif.Sehingga dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup bilangan cacah, bilangan asli, bilangan nol, bilangan satu, bilangan prima, bilangan komposit dan bilangan negative. Atau kesimpulan lain dari bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup seluruh bilangan, kecuali bilangan imajiner, irrasional dan pecahan. sedangkan Bilangan Riil merupakan gabungan antara himpunan bilangan Rasional dan bilangan Irasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, cacah, bulat, rasional, irasional dan real, maka himpunan titik-titik pada garis bilangan tak ada tempat kosong lagi. artinya, setiap titik pada garis bilangan dapat berkorespodensi satu-satu dengan setiap bilangan real. Bilangan real atau bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang koma (,) sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang tanda titik (.). Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan , dan bilangan irrasional, seperti , dan dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Himpunan semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal dari kata “real”).

B. RELASI

1. Jelaskan definisi dari relasi!

Jawab: Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi "suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan rumus.

Diagram Panah                                                            Diagram Cartesius

                                                           

2. Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah!

Jawab: Matriks relasi dan diagram panah, relasi invers
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi. Representasi Relasi dengan Diagram Panah, misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran lalu ditulis dengan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran. Untuk menggambarkan hubungan antara dua anggota himpunan, misalnya A dengan B, kita bisa menggunakan pasangan berurut (ordered pairs).
Contoh dengan diagram panah :

Relasi Invers
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A

DOMAIN DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a Î A, (a,b) Î R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b Î B, (a,b) Î R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}

3. Jelaskan relasi invers, dan komposisi relasi!

Jawab:

FUNGSI KOMPOSISI

     Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan dan akan menghasilkan sebuah fungsi baru.

fungsi komposisi f dan g dapat di tuliskan h(x) = (f o g)(x) =  f (g(x)), yang berarti fungsi h(x) adalah komposisi g dilanjutkan dengan fungsi.

FUNGSI INVERS

     Fungsi invers berarti fungsi kebalikan. Simbol f-1(x) merupakan fungsi invers dari f(x), sehingga berarti f-1(x) = f(y).

soal :

Relasi komposisi  

diketahui fungsi f : R → R dan g : R → R dengan f(x) = 2x² – x – 3 dan g (x) = x +5. 

Tentukan : 

( g ο f ) (x) 

( g ο f ) (2) 

( f ο g ) (1) 

Jawab : 

f(x) =  2x² – x – 3 dan g (x) = x +5

maka

( g ο f ) (x)  = g(f(x)) = g( 2x² – x – 3) 

                           = (2x² – x – 3) + 5

                           = 2x² – x + 2

   2. ( g ο f ) (2)   = 2(2)² – (2) + 2 

                           = 8 – 2 + 3 

                           = 9

  3. ( f ο g ) (1)    = f(g(x)) = f(x+5) 

                           = 2(x+5)² – (x+5) – 3 

                           = 2(x² + 10x + 25) – x – 5 – 3 

                           = 2x² + 19x + 42 

Relasi invers 

Diketahui f(x) = 2 x – 5 

Tentukan : 

f‾¹ (x) 

    2. f(x) = 3x + 2b , x ≠ 1/2 

                  2x – 1 

invers dari fungsi f(x) adalah f‾¹ (x) = ….. 

Maka, 

f(x) = 2x – 5 

           y  = 2x – 5 

        2x   = y + 5 

          x   =y + 5

                    2 

   2. f(x) =  ax + b

                 cx + d 

invers, f‾¹ (x) = -dx + b 

                          cx – a 

            f(x)    = 3x + 2 

                         2x – 1 

           f‾¹ (x)  = – ( -1)x + 2 

                            2x – 3 

                     =  x + 2 

                         2x – 3 

4. Jelaskan perbedaan sifat relasi!(refleksif, transitif, simetris, anti simetri)

Jawab:

·                     Sifat Reflekatif :

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk p € P berlaku (p,p) €  R.

Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif  sebab setiap angggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

·                     Sifat Simetris :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) € R berlaku (y,x) €  R.

Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.

·                     Sifat Transitif :

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.

Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi  pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan  R= {(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) € R din (y,z) € R  berlaku (x,z) € R.

·                     Sifat Antisimetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.

Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.

C. FUNGSI

1. Jelaskan pengertian fungsi!

Jawab: Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range). 

Pada fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:

– Domain yaitu daerah asal fungsi f dilambangkan dengan Df.

– Kodomain yaitu daerah kawan fungsi f dilambangkan dengan Kf.

– Range yaitu daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan dengan Rf.

2. Jelaskan fungsi satu satu ( one to one) dengan fungsi pada (on to )

Jawab: Fungsi Satu-Satu (Injektif)

Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B maka f disebut Fungsi Satu-Satu jika setiap unsur di B (kodomain) terdapat secara tunggal unsur dalam A (domain), artinya tidak ada dua elemen atau lebih di A yang dipetakan ke elemen yang sama di B. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A   B dikatakan satu-satu atau injektif, jika untuk setiap unsur x₁ dan x₂ di yang dipetakan sama oleh f, yaitu f(x₁) = f(x₂) berlaku x₁ = x₂.

defisini diatas ekivalen dengan kalimat berikut “jika x₁   x₂ maka berlaku f(x₁)   f(x₂)”

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh diagram pemetaan dibawah ini.

Keterangan :

Gambar diagram pemetaan sebelah kiri merupakan fungsi satu-satu karena setiap anggota di domain dipetakan tepat satu ke kodomain dan tidak ada dua anggota domain yang dipetakan ke anggota kodomain yang sama.

Kemudian untuk diagram pemetaan kedua atau yang sebelah kanan bukan merupakan fungsi satu-satu karena ada dua anggota di domain yang memiliki pemetaan yang sama di kodomain.

Contoh :

Selidiki apakah fungsi f : R   R merupakan Fungsi Satu-Satu atau bukan !

f(x) = x² + 2

ambil -1, 1   di domain, sehingga diperoleh f(-1) = (-1)² + 2 = 3 dan f(1) = (1)² + 2 = 3 berakibat f(-1) = f(1). Karena terdapat dua elemen di domain yang memiliki peta sama di kodomain. Jadi fungsi f(x) bukan Fungsi Satu-Satu.

g(x) = x³ – 2

ambil x₁, x₂   sebarang dan g(x₁) = g(x₂) berakibat

g(x₁) = g(x₂)

(x₁)³ – 2 = (x₂)³ – 2

(x₁)³ = (x₂)³

x₁ = x₂

Jadi, fungsi g(x) adalah Fungsi Satu-Satu

Fungsi Bijektif (Satu-Satu dan Pada)

 

Dalam suatu fungsi ada yang merupakan hanya Fungsi Pada atau Fungsi Satu-Satusaja tapi ada yang termasu kedua-duanya. Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A   B dikatakan bijeksi (bijection) jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi Pada.

Secara sederhana bahwa Fungsi Bijeksi akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di domain.

Perhatikan diagram pemetaan dibawah ini.

Keterangan :

Pemetaan pertama merupakan Fungsi Bijeksi karena sudah sesuai denganDifinisi.

Pemetaan kedua bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Pada. Perhatikan “d” dan “e” di domain, kedua anggota domain tersebut dipetakan ke anggota domain yang sama (lihat Definisi Fungsi Satu-Satu)

Pemetaan ketiga bukan Fungsi Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi Satu-Satu. Karena terdapat anggota kodomain yaitu “9” yang tidak memiliki pasangan pada anggota domain.

3. Perbedaan Domain, Kodomain dan Range suatu fungsi

Jawab: Fungsi, dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota himpunan yang lain (dinamakan sebagaikodomain). Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan setiap ilmu kuantitatif. Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta", "transformasi", dan "operator" biasanya dipakai secara sinonim.

Anggota himpunan yang dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan riil. Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita dapat menulis f(5)=10.

1. Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerahkawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan "setengah dari ".

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

2). Domain, Kodomain  dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan  B disebut Kodomain (daerah kawan) dan  semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}