A.Himpunan dan bilangan
1. Jelaskan pengertian himpunan dan anggota
himpunan!
Jawab : Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau
objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa
objek pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat
dibadakan atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak
termuat pada himpunan.
Anggota himpunan :
Himpunan A adalah himpunan 5
bilangan asli yang pertama yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5. Bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5
disebut anggota
dari himpunan A.
Anggota himpunan biasanya
dinotasikan dengan ∈.
Contoh:
1 ∈ A dibaca satu merupakan anggota
dari himpunan A.
2 ∈ A dibaca dua merupakan anggota
dari himpunan A.
Untuk menyatakan sesuatu bukan
anggota himpunan biasanya dinotasikan dengan ∉.
Contoh:
7 ∉ A dibaca tujuh bukan
anggota dari himpunan A.
9 ∉ A dibaca sembilan bukan anggota
dari himpunan A.
Anggota suatu himpunan dinotasikan dengan ∈.
Bukan anggota suatu himpunan dinotasikan dengan ∉.
Himpunan A adalah himpunan lima
bilangan asli yang pertama yaitu 1, 2, 3, 4, dan 5. Banyaknya anggota himpunan
A adalah 5. Notasi banyaknya anggota himpunan A dapat ditulis n(A) = 5 dibaca banyaknya anggota himpunan A adalah 5.
2. Sebutkan macam-macam himpunan
berdasarkan jumlah anggotanya!
Jawab: 1. Himpunan bilangan asl
A = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
2. Himpunan bilangan cacah
C = { 0, 1, 2, 3, 4, .... }
3. Himpunan bilangan prima
P = { 2, 3, 5, 7, 11, .... }
4. Himpunan bilangan genap
G = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, .... }
5. Himpunan bilangan ganjil
G = { 1, 3, 5, 7, 9, .... }
6. Himpunan bilangan komposit (tersusun)
T = { 4, 6, 8, 9, 10, 12, .... }
7. Himpunan tak hingga
A = { 1, 3, 5, 7, ..... }, (n)A =
∞ (jumlah anggota himpunan A adalah tak terhingga)
8. Himpunan berhingga
B = { 1, 3, 5, 7 }, (n)A = 4 (jumlah anggota himpunan B adalah sebanyak 4)
9. Himpunan kosong
K = { himpunan bilangan prima antara 7
dan 9 }, K = { } (jumlah anggota himpunan
K adalah tidak ada atau kosong)
10. Himpunan bagian
A = {2, 3, 5 } dan B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Semua anggota himpuna A adalah
merupakan anggota himpunan B. Sehingga
dapat dikatakan bahwa; A bagian dari B, ditulis A c B atau B memuat A ditulis B
ﬤ A
11. Himpunan semesta
Bila A = { 2, 4, 6, 8, 10 },
maka beberpa himpunan semesta pembicaraan yang mungkin untuk A adalah;
S = { bilangan asli }
S = { bilangan cacah }
S = { bilangan kelipatan 2 }
3. Jelaskan operasi antara himpunan berserta
contohnya!
Jawab: Ada beberapa operasi
himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih
dan beda setangkup.
Irisan
(intersection)
Irisan antara dua buah
himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh irisan :
- Misalkan
A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}
- Misalkan
A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita
lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.
Hal
ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.
Gabungan
(union)
Gabungan
antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪
B = { x | x ∈
A atau x ∈
B }
Jika
dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh union :
- Jika
A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1,
2, 3, 4, 5, 7}
- A
∪ ∅
= A
Komplemen
(complement)
Komplemen
dari suatu himpunan merupakan unsur -unsur yang ada pada himpunan universal
(semesta pembicaraan ) kecuali anggota himpunan tersebut. Misalkan A merupakan
himpunan yang berada pada semesta pembicaraan U, maka komplemen dari himpunan A
dinotasikan oleh :
Ä€ =
{ x | x ∈ U dan x ∉
A }
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh komplemen :
- Misalkan U = { 1, 2, 3, ..., 9 },
- jika A = {1, 3, 7, 9}, maka Ā = {2,
4, 5, 6, 8}
- jika A = { x ∈ U | x habis dibagi dua }, maka A=
{ 1, 3, 5, 7, 9 }
Contoh
komplemen :
A
= himpunan mahasiswa STT Telkom
B
= himpunan mahasiswa yang tinggal di Asrama
C
= himpunan mahasiswa angkatan 2004
D
= himpunan mahasiswa yang mengambil matematika diskrit
E
= himpunan mahasiswa yang membawa motor untuk pergi ke kampus
a.
Pernyataan
“Semua
mahasiswa STT Telkom angkatan 2004 yang membawa motor untuk pergi ke kampus”
dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
(A
∩ C) ∩ E
b.
Pernyataan
“Semua
mahasiswa STT Telkom yang tinggal di asrama dan tidak mengambil matematika
diskrit” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai berikut :
A
∩ B ∩ D
c.
Pernyataan
“semua
mahasiswa angkatan 2004 yang tidak tinggal di asrama atau tidak membawa motor
untuk pergi ke kampus” dapat dinyatakan dalam notasi operasi himpunan sebagai
berikut :
C
∩ (B ∪ E)
Selisih
(difference)
Selisih
antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘– ‘. Misalkan A dan B adalah
himpunan, maka selisih A dan B dinotasikan oleh A – B = { x | x ∈ A dan x ∉
B } = A ∩ B
Contoh
selisih :
Jika
A = { 1, 2, 3, ..., 10 } dan B = { 2, 3, 5, 7}, maka A – B = { 1, 4, 6, 8, 9 }
dan B – A = ∅
Beda Setangkup (Symmetric Difference)
Beda
setangkup antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘⊕‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka beda setangkup antara A dan B
dinotasikan oleh :
A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B)
= (A – B) ∪ (B – A)
Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :
Contoh beda setangkup :
Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ⊕ B = { 1, 4, 7 }
Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut :
- A ⊕ B = B ⊕ A
(hukum komutatif)
- (A ⊕ B ) ⊕ C = A
⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
Perkalian
Kartesian (cartesian product)
Perkalian kartesian
antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘× ‘.
Misalkan A dan B adalah himpunan, maka perkalian kartesian antara A dan B
dinotasikan oleh :
A
× B = {(a, b) | a ∈
A dan b ∈ B }
Contoh
perkalian kartesian :
Misalkan
C = {1, 2, 3}, dan D = { a, b }, maka C × D = { (1, a), (1, b), (2, a), (2, b),
(3, a), (3, b) }
Misalkan A = B = himpunan semua bilangan riil, maka A × B = himpunan semua
titik di bidang datar
Misalkan
ada dua himpunan dengan kardinalitas berhingga, maka kardinalitas himpunan
hasil dari suatu perkalian kartesian antara dua himpunan tersebut adalah
perkalian antara kardinalitas masing-masing himpunan. Dengan demikian, jika A
dan B merupakan himpunan berhingga,
maka:
|A × B| = |A| . |B|
Pasangan
terurut (a, b) berbeda dengan (b, a), dengan kata lain (a, b) ≠ (b, a). Dengan
argumen ini berarti perkalian kartesian tidak komutatif, yaitu
A
× B ≠ B × A
dimana
A atau B bukan himpunan kosong. Jika A = ∅ atau B = ∅,
maka
A
× B = B × A = ∅
Hukum-hukum
yang berlaku untuk operasi himpunan adalah sebagai berikut :
1.
Hukum identitas:
2.
Hukum null/dominasi:
3.
Hukum komplemen:
4.
Hukum idempoten:
5.Hukuminvolusi:
6. Hukum penyerapan (absorpsi):
- A ∪ (A ∩ B) = A
- A ∩ (A ∪ B) = A
7. Hukum komutatif:
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ B = B ∩ A
8. Hukum asosiatif:
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
9. Hukum distributif:
- A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
- A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
10. Hukum De Morgan:
4. Jelaskan mengenai himpunan bilangan dan sebutkan sifat-sifat bilangan!
Himpunan
bilangan adalah kumpulan bilangan yang terdefinisi dengan jelas. Adapun jenis- jenis
bilangan yaitu bilangan asli (N), bilangan cacah (C), bilangan bulat (B),
bilangan rasional (Q), bilangan irrasional (I). Bilangan-bilangan tersebut
apabila dikumpulkan dalam tiap jenisnya akan membentuk suatu himpunan.
Sifat-sifat
bilangan:
a. Sifat
Komutatif
Dalam
penjumlahan dan perkalian, angka yang akan dijumlahkan atau dikalikan dapat
dibolak – balik :
5 + 2 = 7
dan 2 + 5 = 7
5 x 2 = 10
dan 2 x 5 = 10
Ini adalah
merupakan sifat komutatif, yaitu jika angka yang akan dijumlahkan atau
dikalikan menghasilkan hasil yang sama. Dalam sebuah variable dapat dituliskan
:
a + b = b +
a
a x b = b x
a
sifat ini
tidak berlaku pada operasi pengurangan dan pembagian.
Contoh :
5 – 2 = 3
sedangkan 2 – 5 = -3
4 : 2 = 2
sedangkan 2 : 4 = 0,5
b. Sifat
Asosiatif
Dalam
operasi penjumlahan dan perkalian pada tiga bilangan, tidak menjadi masalah
apakah anda menggabungkan dua bilangan pertama kemudian bilangan ketiga, atau
jika anda mulai dengan menggabungkan bilangan kedua dan ketiga baru kemudian
bilangan pertama.
Contoh :
5 + ( 3 + 6
) = 14 dan ( 5 + 3 ) + 6 = 14
5(3x6) = 90
dan (5x3)6 = 90
Dalam
bentuk variable dapat dituliskan sebagai berikut
a + ( b + c
) = ( a + b ) + c
a(b xc ) =
(axb)c
sedangkan
pada operasi pengurangan dan pembagian sifat asosiatif tidak berlaku.
c. Sifat
Distributif
Perkalian
dapat didistribusikan pada operasi penjumlahan atau pembagian.
Contoh :
3( 4 + 5 )
= 3 x 9 = 27 dan 3(4) + 3(5) = 12 + 15 = 27
Dalam
bentuk variable dapat dinyatakan dengan :
a( b + c )
= a(b) + a(c)
pada
operasi pambagian tidak dapt di distribusikan pada operasi penjumlahan ataupun
operasi pengurangan.
5. Jelaskan
perbedaan bilangan bulat dengan bilangan riil!
Jawab:
Bilangan Bulat adalah himpunan
bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, nol dan bilangan bulat positif.Sehingga dapat
disimpulkan bahwa bilangan bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup
bilangan cacah, bilangan asli, bilangan nol, bilangan satu, bilangan prima,
bilangan komposit dan bilangan negative. Atau kesimpulan lain dari bilangan
bulat adalah himpunan bilangan yang mencakup seluruh bilangan, kecuali bilangan
imajiner, irrasional dan pecahan. sedangkan Bilangan Riil merupakan gabungan antara himpunan bilangan Rasional
dan bilangan Irasional. Dengan perluasan dari bilangan asli, cacah, bulat,
rasional, irasional dan real, maka himpunan titik-titik pada garis bilangan tak
ada tempat kosong lagi. artinya, setiap titik pada garis bilangan dapat
berkorespodensi satu-satu dengan setiap bilangan real. Bilangan real atau
bilangan riil menyatakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk
decimal, seperti 2,86547… atau 3.328184. Dalam notasi penulisan bahasa
Indonesia, bilangan desimal adalah bilangan yang memiliki angka di belakang
koma (,) sedangkan menurut notasi ilmiah, bilangan desimal adalah bilangan yang
memiliki angka di belakang tanda titik (.). Bilangan real meliputi bilangan rasional,
seperti 42 dan , dan bilangan irrasional, seperti , dan
dapat direpresentasikan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan. Himpunan
semua bilangan riil dalam matematika dilambangkan dengan R (berasal
dari kata “real”).
B. RELASI
1. Jelaskan definisi dari relasi!
Jawab: Relasi adalah suatu aturan yang
memasangkan anggota himpunan ke himpunan lain. Suatu relasi dari himpunan A ke
himpunan B adalah pemasangan atau perkawanan atau korespondensi dari
anggota-anggota himpunan A ke anggota-anggota himpunan B. Jika diketahui
himpunan A = {Eko, Rina, Tono, Dika}; B = {Merah, Hitam, Biru}, maka relasi
"suka dengan warna" himpunan A ke himpunan B dapat disajikan dalam
diagram panah, diagram Cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan dengan
rumus.
Diagram Panah Diagram
Cartesius
2. Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah!
Jawab: Matriks relasi dan diagram panah,
relasi invers
Hubungan antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lain dinyatakan dengan
struktur yang disebut relasi. Representasi Relasi dengan Diagram Panah,
misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, gambar dua buah lingkaran
lalu ditulis dengan elemen-elemen A dan B pada masing-masing lingkaran. Untuk
menggambarkan hubungan antara dua anggota himpunan, misalnya A dengan B, kita
bisa menggunakan pasangan berurut (ordered pairs).
Contoh dengan diagram panah :
Relasi
Invers
Setiap Relasi dari A ke B, mempunyai relasi R-1 dari B ke A yang didefinisikan
sebagai
R-1 = {(b,a) ½ (a,b) ÃŽ R}
contoh:
A = {1,2,3}; B = {a,b}
R = {(1,a), (1,b), (3,a)} relasi dari A ke B
R-1 = {(a,1), (b,1), (a,3)} relasi invers dari B ke A
DOMAIN
DAN RANGE
Domain (daerah asal) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen pertama dari
pasangan berurutan elemen R.
Domain = { a ½ a ÃŽ A, (a,b) ÃŽ R }
Range (daerah hasil) dari suatu relasi R adalah himpunan elemen kedua dari
pasangan berurutan elemen R.
Range = {b ½ b ÃŽ B, (a,b) ÃŽ R}
contoh:
A = {1,2,3,4} ; B = {a,b,c}
R = {(2,a) ; (4,a) ; (4,c)}
Domain = {2,4}
Range = {a,c}
3. Jelaskan relasi invers, dan
komposisi relasi!
Jawab:
FUNGSI KOMPOSISI
Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan dan
akan menghasilkan sebuah fungsi baru.
fungsi komposisi f dan
g dapat di tuliskan h(x) = (f o g)(x) = f (g(x)), yang berarti fungsi
h(x) adalah komposisi g dilanjutkan dengan fungsi.
FUNGSI INVERS
Fungsi invers berarti fungsi kebalikan. Simbol f-1(x) merupakan fungsi invers
dari f(x), sehingga berarti f-1(x) = f(y).
soal :
Relasi komposisi
diketahui fungsi f :
R → R dan g : R → R dengan f(x) = 2x² – x – 3 dan g (x) = x +5.
Tentukan :
( g ο f )
(x)
( g ο f )
(2)
( f ο g )
(1)
Jawab :
f(x) = 2x² –
x – 3 dan g (x) = x +5
maka
( g ο f ) (x)
= g(f(x)) = g( 2x² – x – 3)
=
(2x² – x – 3) + 5
= 2x² – x + 2
2. (
g ο f ) (2) = 2(2)² – (2) + 2
= 8
– 2 + 3
= 9
3. ( f ο g
) (1) = f(g(x)) = f(x+5)
=
2(x+5)² – (x+5) – 3
=
2(x² + 10x + 25) – x – 5 – 3
=
2x² + 19x + 42
Relasi invers
Diketahui f(x) = 2 x –
5
Tentukan :
f‾¹ (x)
2. f(x)
= 3x + 2b , x ≠ 1/2
2x – 1
invers dari fungsi f(x)
adalah f‾¹ (x) = …..
Maka,
f(x) = 2x – 5
y = 2x – 5
2x = y + 5
x =y + 5
2
2. f(x)
= ax + b
cx + d
invers, f‾¹ (x)
= -dx + b
cx –
a
f(x) = 3x + 2
2x –
1
f‾¹ (x) = – ( -1)x + 2
2x – 3
= x + 2
2x –
3
4.
Jelaskan perbedaan sifat relasi!(refleksif, transitif, simetris, anti simetri)
Jawab:
·
Sifat
Reflekatif :
Misalkan R sebuah relasi yang
didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk
p € P berlaku (p,p) € R.
Contoh : Diberikan Himpunan P = {1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan hasil adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}.
Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap angggota himpunan P
berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.
·
Sifat
Simetris :
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x,y) €
R berlaku (y,x) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P
dengan R ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut
bersifat simetris untuk setiap (x,y) € R, berlaku (y,x) € R.
·
Sifat
Transitif :
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R bersifat Transitif, apabila untuk setiap (x,y) € R dan
(y,z) € R maka berlaku (x,z) € R.
Contoh : Diberikan himpunan P ={1,2,3}. Didefinisikan relasi pada
himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R= {(1,1), (1,2), (1,3),
(2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat Transitif sebab (x,y) €
R din (y,z) € R berlaku (x,z) € R.
·
Sifat
Antisimetris
Misalkan R sebuah relasi pada sebuah
himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap
(x,y) € R dan (y,x) € R berlaku x=y.
Contoh : Diberikan himpunan C = {2,4,5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C
dengan R = {(a,b) € a kelipatan b, ab € C} sehingga diperoleh R = {(2,2),
(4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi R tersebut bersifat antisimetris.
C.
FUNGSI
1.
Jelaskan pengertian fungsi!
Jawab: Fungsi
dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap
anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu
nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan
(Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah
hasil ( Range).
Pada
fungsi, terdapat beberapa istilah penting, di antaranya:
– Domain yaitu
daerah asal fungsi f dilambangkan
dengan Df.
– Kodomain yaitu
daerah kawan fungsi f dilambangkan
dengan Kf.
– Range yaitu
daerah hasil yang merupakan himpunan bagian dari kodomain. Range fungsi f dilambangkan
dengan Rf.
2. Jelaskan fungsi satu satu ( one to one) dengan
fungsi pada (on to )
Jawab: Fungsi
Satu-Satu (Injektif)
Misalkan f merupakan fungsi
dari A ke B maka f disebut Fungsi Satu-Satu jika setiap unsur di B (kodomain) terdapat secara tunggal unsur dalam A (domain), artinya tidak ada dua elemen atau lebih di A yang dipetakan ke
elemen yang sama di B. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :
Definisi :
Pemetaan (fungsi) f :
A
B dikatakan satu-satu atau injektif,
jika untuk setiap unsur x1 dan x2 di yang
dipetakan sama oleh f, yaitu f(x1) = f(x2) berlaku x1 =
x2.
defisini diatas ekivalen dengan
kalimat berikut “jika x1
x2 maka berlaku
f(x1)
f(x2)”
Untuk lebih jelasnya,
perhatikan contoh diagram pemetaan dibawah ini.
Keterangan :
Gambar diagram pemetaan sebelah
kiri merupakan fungsi satu-satu karena setiap anggota di domain dipetakan tepat satu ke kodomain
dan tidak ada dua anggota domain yang dipetakan ke anggota kodomain yang sama.
Kemudian untuk diagram pemetaan
kedua atau yang sebelah kanan bukan merupakan fungsi
satu-satu karena ada dua anggota di
domain yang memiliki pemetaan yang sama di kodomain.
Contoh :
Selidiki apakah fungsi f : R
R merupakan Fungsi Satu-Satu atau bukan !
f(x) = x2 + 2
ambil -1, 1
di domain, sehingga diperoleh f(-1) = (-1)2 + 2 = 3 dan f(1) = (1)2 + 2 = 3 berakibat f(-1) = f(1). Karena terdapat dua elemen di
domain yang memiliki peta sama di kodomain. Jadi fungsi f(x) bukan Fungsi
Satu-Satu.
g(x) = x3 – 2
ambil x1, x2
sebarang dan g(x1) = g(x2)
berakibat
g(x1) = g(x2)
(x1)3 – 2 = (x2)3 – 2
(x1)3 = (x2)3
x1 = x2
Jadi, fungsi g(x) adalah Fungsi
Satu-Satu
Fungsi
Bijektif (Satu-Satu dan Pada)
Dalam suatu fungsi ada yang
merupakan hanya Fungsi Pada atau Fungsi
Satu-Satusaja tapi ada yang termasu kedua-duanya.
Fungsi yang merupakan fungsi satu-satu dan pada biasanya disebut dengan Fungsi
Bijeksi. Secara matematis ditulis sebagai berikut.
Definisi :
Pemetaan (fungsi) f :
A
B dikatakan bijeksi (bijection)
jika f adalah Fungsi Satu-Satu dan Fungsi
Pada.
Secara sederhana bahwa Fungsi
Bijeksi akan terjadi jika jumlah anggota domain sama dengan jumlah anggota
kodomain. Dengan catatan bahwa tidak ada dua domain berbeda atau lebih
dipetakan ke kodomain yang sama dan setiap kodomain memiliki pasangan di
domain.
Perhatikan diagram pemetaan
dibawah ini.
Keterangan :
Pemetaan pertama merupakan Fungsi
Bijeksi karena sudah sesuai denganDifinisi.
Pemetaan kedua bukan Fungsi
Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi
Pada. Perhatikan “d” dan “e” di domain, kedua anggota domain tersebut
dipetakan ke anggota domain yang sama (lihat Definisi Fungsi Satu-Satu)
Pemetaan ketiga bukan Fungsi
Bijeksi karena pada pemetaan tersebut hanya terjadi Fungsi
Satu-Satu. Karena terdapat anggota kodomain yaitu “9”
yang tidak memiliki pasangan pada anggota domain.
3.
Perbedaan Domain, Kodomain dan Range suatu fungsi
Jawab:
Fungsi,
dalam istilah matematika adalah pemetaan
setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan
sebagai domain) kepada
anggota himpunan yang
lain (dinamakan sebagaikodomain).
Istilah ini berbeda pengertiannya dengan kata yang sama yang dipakai
sehari-hari, seperti “alatnya berfungsi dengan baik.” Konsep fungsi
adalah salah satu konsep dasar dari matematika dan
setiap ilmu kuantitatif.
Istilah "fungsi", "pemetaan", "peta",
"transformasi", dan "operator" biasanya
dipakai secara sinonim.
Anggota himpunan yang
dipetakan dapat berupa apa saja (kata, orang, atau objek lain), namun biasanya
yang dibahas adalah besaran matematika seperti bilangan
riil.
Contoh sebuah fungsi dengan domain dan kodomain himpunan bilangan riil
adalah y=f(2x), yang menghubungkan suatu bilangan
riil dengan bilangan riil lain yang dua kali lebih besar. Dalam hal ini kita
dapat menulis f(5)=10.
1. Pengertian
Domain, Kodomain, Range
Domain disebut juga dengan daerah
asal, kodomain daerahkawan sedangkan range adalah daerah
hasil.
contoh
: Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Relasi
dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan "setengah dari ".
Jika
relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :
{
(1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.
Relasi
di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan
P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.
Dari
fungsi di atas maka :
Domain/daerah
asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }
Kodomain/daerah
kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }
Range/daerah
hasil = { 2,4,6,8 }
Jika
A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “
Faktor
dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :
a.
Diagram Panah
b.
Diagram Cartesius
c.
Himpunan pasangan berurutan.
Jawab:
c.
Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4,
4),
(4,
8),(6, 6)}
2).
Domain, Kodomain dan Range
Pada
relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal)
himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua
anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).
Contoh
3 :
Tuliskan
Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :
Jawab:
Domain
= {2, 4, 6}
Kodomain
= {2, 4, 6, 8, 10, 11}
Range
= { 2, 4, 6, 8, 10}
Contoh
4
Tentukanlah
domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:
Jawab:
a.
Domain = { 3, 5 }
Kodomain
= { 1, 2, 6, 8, 9}
Range
= { 1, 2, 8}
b.
Domain = { 3, 5, 7, 8}
Kodomain
= { 1, 2, 3, 4, 7, 8}
Range
= { {1, 2, 3, 4, 7, 8}
